En El Blog de K. Bourbaki hacemos uso intensivo de Html5, MVC4 y JQuery, nos verá mucho mejor con Chrome.

Pido disculpas por no escribir tan a menudo como me gustaría, pero ya saben cómo están las cosas..., todo muy difícil para que los free-lance -como un servidor- nos ganemos la sopa, la gasolina y esas cosas.
En fin, ya lo dijo Mafalda: Lo urgente no deja tiempo para lo importante.
Espero que el ejemplo que sigue les guste -y les sirva de algo-.

Markowitz, Sharpe y otros animales

Uno, que ya ha tenido sus peleas con esta fauna, sabe que, a pesar de su elegancia y de sus teóricamente impecables resultados, la aplicación de sus métodos conduce en la práctica a estados muy inestables que presentan todas las características de un sistema caótico, en el sentido de que una cucharadita de basura en la entrada produce su buen camión colmado de basura en la salida; y no me estoy refiriendo aquí al cisne negro de Taleb -que también-, sino a una verdadera inestabilidad intrínseca a los procedimientos.
Hay modos de evitar este caos, pero requieren de mucho dinerito para recabar datos históricos -mínimo de 20-25 años- y necesitan además un esfuerzo computacional que no está al alcance de cualquiera.
Como siempre, parece que los pobres nos tendremos que aguantar sin utilizar estos métodos, y que tendremos que seguir haciendo las cosas 'a ojo',... pero eso no es del todo cierto, hay un caso particular en el que no es necesario calcular la Frontera Eficiente de la Cartera y al que podemos acceder mediante fórmulas directas sencillas y conocidas: Se trata del caso particular de carteras con dos activos. Voy a mostrárselo porque es muy útil y no tendrán ninguna dificultad en aplicarlo.

El problema

Digamos que como la bolsita se está animando -o al menos eso parece-, considera usted que es el momento de añadir a su Cartera alguna acción interesante. Puede ser el caso de que su Cartera esté 'floja de Bancos' porque en los últimos años, muy prudentemente, haya usted infraponderado el Sector Financiero y quiera añadir ahora algún Banco.
Aparte de las 'adivinanzas' -que siempre las podremos utilizar-, quisiera usted hacer algo más consistente, veamos si es posible.
El enunciado del problema es sencillo:

Tiene usted una Cartera a la que quiere añadir acciones del Banco XYZ y desea que la Cartera resultante tras esta adición sea Óptima en el sentido de minimizar el Riesgo, ¿cuántas acciones de XYZ debe comprar?

Nota: En este enunciado no hablamos de Sharpe y maximizar el ratio Riesgo/Rentabilidad -que sería otro cantar-, simplemente tratamos de minimizar el Riesgo.

Y la Solución

El método usual -y equivocado- de gestionar este asunto es suponer que tanto nuestra Cartera actual como el Banco XYZ que añadimos van a reaccionar del mismo modo ante los estímulos del Mercado. Con ésto estamos normalizando el problema y suponiendo que de aquí en adelante ambos activos van a distribuirse igual. Esta actitud. aunque aceptable en ciertos casos, por ejemplo en el Mercado de Derivados en el que suponemos iguales distribuciones lognormales para todos los precios futuros de los activos, no es ciertamente aconsejable ni útil en el Mercado de Contado; aquí necesitamos establecer un Escenario a futuro, que puede ser tan complejo como queramos.
Para establecer el Escenario consideraremos varios Estados Futuros posibles, y para cada uno de ellos definiremos claramente el comportamiento de nuestra Cartera y del Activo XYZ. Además a cada Escenario le daremos una Probabilidad de ocurrencia. Por ejemplo, consideremos estos tres posibles Estados Futuros:

#	Escenario	Cartera	XYZ	Probabilidad
1	Rajoy no es gallego (es de cerca)	+11,27%	+32,37%	30%
2	Rajoy es gallego (y ejerce)	0,00%	0,00%	60%
3	Zapatero amenaza con volver	-28,31%	-30,22%	10%

Cartera Original.
Para el Escenario futuro planteado, tenemos lo siguiente: (R = rendimiento esperado, σ = riesgo) \[ R_{cartera} \left ( \left \{ 0.3,0.6,0.1 \right \},\left \{ 0.1127,0.00,-0.2831 \right \} \right ) = 0,55\% \] \[ \sigma_{cartera} \left ( \left \{ 0.1127,0.00,-.2831 \right \} \right ) = 16,65\% \] \[ R_{xyz} \left ( \left \{ 0.3,0.6,0.1 \right \},\left \{ 0.3237,0.00,-0.3022 \right \} \right ) = 6,69\% \] \[ \sigma_{xyz} \left ( \left \{ 0.3237,0.00,-0.3022 \right \} \right ) = 25,55\% \] Para los cálculos, necesitaremos la Covarianza Forward (la esperada en el escenario) entre la Cartera y el activo XYZ, que es: \[ CovF \left ( \left \{ {0.3,0.6,0.1} \right \},\left \{ 0.1127,0.00,-0.2831 \right \},\left \{ 0.3237,0.00,-0.3022 \right \} \right ) = 0.0191 \] Mediante una sencilla fórmula, calculamos α, es decir el peso del activo XYZ que minimizará el Riesgo: \[ \alpha = 1 - \frac{{\sigma_{xyz}}^{2} - CovF}{\left( {{\sigma}_{Cartera}}^{2} + {{\sigma}_{xyz}}^{2} \right) - \left( 2\cdot CovF \right)} = 0,1569 \] Con esta introducción del activo xyz, tenemos para la Cartera Compuesta: \[ R_{carteracompuesta} = \left ( \left \{ 0.1569, 0.8431 \right \}, \left \{ 0.0669, 0.0055 \right \} \right ) = 1,51\% \] \[ \sigma_{carteracompuesta}\left ( \left \{ {\alpha} \right \},\left \{ 0.1665 \right \},\left \{ 0.2555 \right \},\left \{ 0.0191 \right \} \right ) = 16,24\% \]

Observaciones

Teniendo α, es sencillo componer una cartera con una ponderación del 84,31% de la cartera original y un 15,69% del nuevo activo. Habremos mejorado el rendimiento de la Cartera Original desde un 0,55% hasta un 1,51%, mientras que habremos disminuido el Riesgo (siempre a una desviación típica) desde el 16,65% original hasta el 16,24% final. No son mejoras espectaculares, pero eso suele ser señal de que el Escenario planteado tiene una cierta coherencia. Desconfíe de sus planteamientos cuando, añadiendo un activo, logra mejoras como doblar el Rendimiento y disminuir el Riesgo a la mitad.
Fíjese también en que las respuestas no son obvias, por lo que creo que éste es un paso interesante que se debería realizar siempre que se pudiera -aunque luego cada uno lo haga a ojo, que suele ser también una buena solución, pero mejor si la apoyamos en algo como ésto.